Wurzeln: vermischte Aufgaben

Aufgaben: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Aufgabe 1

Gegeben sei die Gleichung

a)	Diskutieren Sie die zugehörige Funktion vollständig. Berechnen Sie insbesondere auch die Steigungen an Rand des Definitionsbereiches.
b)	Quadrieren Sie die gegebene Gleichung. Welche Kurve wird durch die Lösungsmenge der quadrierten Gleichung definiert?
c)	Welche endliche Fläche wird von der Lösung bei b) eingeschlossen?
	[TSME, Matur BDE, 1993]

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion

a)	Bestimmen Sie die Extremwerte und die Nullstellen der Funktion. Skizzieren Sie den Graphen über [0;5]
b)	Lässt man den Graphen von f um die x-Achse rotieren, so entsteht eine "Zwiebel". Bestimmen Sie die Querschnittsfläche dieser Zwiebel bei einem Schnitt durch die x-Achse.
c)	Welche endliche Fläche wird von der Lösung bei b) eingeschlossen?
	[TSME, Vorprüfung BDE, 1992]

Aufgabe 3


a)	Diskussion: Definitionsbereich, Extremum, Asymptoten, Verhalten am Rand des Definitionsbereichs, Graph.
b)	Der Graph der Funktion bildet mit den Geraden y=2 und x=4 ein "Dreieck", das um die x-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers exakt.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen

a)	Zeichnen Sie die Graphen von f und g und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes.
b)	Die beiden Graphen begrenzen zusammen mit der x-Achse ein Flächenstück. Wie gross ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation dieses Flächenstücks um die x-Achse entsteht?
c)	Die Ecken A und B eines Rechtecks liegen auf der x-Achse, F∈f und G∈g. Berechnen Sie die Seiten BC=AD so, dass die Fläche des Rechtecks möglichst gross wird.
	[Matur TSME 1997 Flü]

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion

a)	Geben Sie Nullstellen, Extrema, Definitions- und Wertebereich der Funktion an und skizzieren Sie den Graphen für [0;5].
b)	Das im ersten Quadranten liegende Flächenstück zwischen x-Achse und Graph rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen V₁ des entstehenden Rotationskörpers.
c)	Dem Rotationskörper wird ein Kegel mit Spitze im Ursprung und mit maximalem Volumen V₂ einbeschrieben. V₂=?; V₁:V₂=?
	[Matur Kantonsschule Rychenberg Winterthur 1989]

Aufgabe 6

a)	Führen Sie eine Kurvendiskussion durch.
b)	Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von der Kurve und der x-Achse eingeschlossen wird.
c)	Berechnen Sie das Rotationsvolumen dieses Flächenstücks.
	[Matur Kantonsschule Rychenberg Winterthur 1989]