Extremalwertaufgaben |
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Aufgaben aus verschiedenen Gebieten: 1,
2,
3,
4,
5,
6
Aufgaben, bei denen ein Kurvenpunkt gesucht wird:
7,
8,
9,
10
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Aufgabe 1 |
Wie hoch ist der gerade Kreiskegel mit gegebener Mantellinie
s, der grösstmögliches Volumen besitzt? |
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Aufgabe 2 |
Die Zahlen a und b erfüllen die Bedingung a+b2=13.
Welches ist der kleinste Wert, den W=a2+b3
annehmen kann?
Wie viel beträgt dieser kleinste Wert unter der Einschränkung,
dass a und b positiv sein müssen? |
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Aufgabe 3 |
Einem geraden Kreiskegel (Grundkreisradius 3 cm, Höhe
6 cm)ist der Kreiszylinder mit maximalem Volumen
einzubeschreiben, der die gleiche Rotationsachse wie der Kegel
hat. Bestimmen Sie die Zylinderhöhe. |
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Aufgabe 4 |
Einem Kreis mit dem Radius r=1 soll das flächen
grösste gleichschenklige Dreieck einbeschrieben werden.
Wie lang sind seine Seiten? |
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Aufgabe 5 |
Aus einem rechteckigen Stück Blech von 60 cm Breite
soll eine Rinne mit trapezförmigem Querschnitt
hergestellt werden. Die beiden Ränder der Rinne bilden
mit dem Boden je einen Winkel von 120°. Der Querschnitt der
Rinne soll maximalen Flächeninhalt haben. Wie breit wird
der Boden? |
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Aufgabe 6 |
Dem Halbkreis mit Radius 1 soll ein Trapez einbeschrieben
werden. Die Grundlinie soll der Halbkreisdurchmesser sein. Bei
Rotation des Trapezes um die Grundlinie entsteht ein
Körper, dessen Volumen möglichst gross sein soll.
Geben Sie das Volumen des Rotationskörpers an. |
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Aufgabe 7 |
Welcher Punkt auf der Parabel p hat den kürzesten
Abstand vom Punkt P(6|0)? |
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Aufgabe 8 |
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Der Punkt P(u|v) liegt auf p im 1. Quadranten links von g.
Durch P werden die Parallelen a und b zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Die x-Achse, a, b und g begenzen ein Rechteck.
Wie ist P zu wählen, damit |
| a) |
das Rechteck maximalen Flächeninhalt hat? |
| b) |
das Rechteck - wenn u<2 sein soll - minimalen Flächeninhalt hat? |
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Aufgabe 9 |
Skizzieren Sie p (Taschenrechner).
Dem endlichen Flächenstück, das von der x-Achse
und der Parabel p begrenzt wird, ist dasjenige Rechteck mit
maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben, von dem
eine Seite auf der x-Achse liegt. |
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Aufgabe 10 |
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| Dem Flächenstück, das die Parabel p mit der
x-Achse einschliesst ist ein Rechteck so einzubeschreiben,
dass es bei Rotation |
| a) | um die x-Achse |
| b) | um die y-Achse |
| den Zylinder mit maximalem Volumen erzeugt.
Bestimmen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks. |
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