Gebrochene Funktionen:
vermischte Aufgaben |
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Maturaufgaben: 1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
11,
12
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Aufgabe 1 |
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| Die folgenden Aufgaben lassen sich unabhängig
voneinander lösen. |
| a) |
Wie gross muss man t wählen, damit die Kurve an der Stelle
ein Extremum hat? |
| b) |
Setzen Sie t=1, berechnen Sie Asymptoten, Achsenschnittpunkte,
Extrem- und Wendepunkte und skizzieren Sie den Graph
(Einheit: 2 Häuschen). |
| c) |
Eine Tangente vom Ursprung an die unter b) gegebene Kurve berührt
diese im Punkt B(u|f(u)). Bestimmen Sie die Koordinaten von B und die
Gleichung der Tangente. |
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Vorprüfung 1999 |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 2 |
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| a) |
Diskutieren Sie die Kurve mit der Gleichung f
(Nullstellen, Pole, Asymptote, Extrema exakt!)
und zeichnen Sie sie mit 2 Häuschen als Einheit. |
| b) |
Welche Fläche schliesst die Kurve mit der x-Achse und der
Geraden g ein ? |
| c) |
Eine zum Nullpunkt symmetrische ganze rationale Funktion 3. Grades
y=ax3+bx hat ein Extremum in E.
Bestimmen Sie ihre Gleichung, berechnen Sie die Nullstellen und die
Steigung in den Nullstellen und zeichnen Sie sie in die gleiche Figur.
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| d) |
Welche Fläche schliessen die beiden Kurven zwischen dem Nullpunkt
und der Geraden g ein ? |
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[Matur TSME 2001, Flü] | |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 3 |
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| a) |
Diskutieren Sie die Funktion: Nullstellen, Asymptoten, Extremwerte,
Wendestellen, Skizze. |
| b) |
Welche Stammfunktion von f hat die Nullstellen 3 und -3? |
| c) |
Für welchen Wert von a hat das bestimmte Integral von f über
dem Intervall [0,a] den Wert 9? |
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[TSME Matur 1992] | |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 4 |
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| a) |
Setzen Sie t=1 und führen Sie eine Kurvendiskussion durch.
(Definitionsbereich, Asymptoten, Nullstellen, Extrema, Graph) |
| b) |
Für welchen positiven Wert von k schliessen der Graph der Funktion,
die x-Achse und die Vertikalen x=k und x=2k eine Fläche mit dem
Inhalt 1 ein? |
| c) |
Bestimmen Sie t in ft so, dass die Steigung des Graphen im
Punkt (0|0) m=-3 beträgt. |
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[Matur TSME 2000, Flü] | |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 5 |
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| a) |
Diskutieren Sie f für die Parameterwerte a=4 und b=4 vollständig
und zeichnen Sie einen schönen Graphen (1~8 Hüsli). |
| b) |
Wie gross ist die gesamte Fläche (bis ins
Unendliche) unter der Kurve von a) ? |
| c) |
Wie müssen a und b gewählt werden, damit f ein Maximum mit
dem y-Wert 2 und einen Wendepunkt mit der x-Koordinate 1 erhält?
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[TSME Matur 1996] | |
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Aufgabe 6 |
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| a) |
Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen, Extrema, Wendestellen,
Asymptoten, Graph). |
| b) |
Bestimmen Sie die Ecken eines Rechtecks ABCD mit Kantenlänge
|AB|=2, von dem die Ecken A und B auf der positiven x-Achse liegen
und C und D auf dem Graphen von f. |
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[TSME Matur 1982] | |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 7 |
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| Zu jedem Parameterwert m gehört eine Kurve
km. |
| a) |
Berechnen Sie die Koordinaten der Fixpunkte der Kurvenschar. |
| b) |
Berechnen Sie die Gleichungen der Asymptoten und zeichnen Sie die Kurve
für m=1.5 ohne Berechnung der Extrempunkte. |
| c) |
Berechnen Sie den geometrischen Ort der Schnittpunkte der Asymptoten der
Kurven km. |
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[TSME Matur 1983] | |
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Aufgabe 8 |
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| Die Konstanten p, q, r, s der gebrochenen rationalen Funktion
sind so zu bestimmen, dass die Funktion bei x=1 und x=2 je eine
Nullstelle, x=-1 und bei x=-2 je einen Pol hat. |
| a) |
Berechnen Sie diese Konstanten. |
| b) |
Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten. |
| c) |
Welches sind die Extremalstellen der Funktion? |
| d) |
Berechnen Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte des Graphen mit der
Parabel, welche durch die Zählerfunktion y=x2+px+q
bestimmt wird. |
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[TSME Matur 1990] | |
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Aufgabe 9 |
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| a) |
Diskutieren Sie den Fall a=3 ausführlich. |
| b) |
Bestimmen Sie die Extremalpunkte als Funktion von a. |
| c) |
Auf welcher Kurve liegen diese Extremas? |
| d) |
Bestimmen Sie a so, dass der Funktionsgraph die Gerade y=x berührt!
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[TSME Matur 1989] | |
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Aufgabe 10 |
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| a) |
Wie gross muss die Zahl a gewählt werden, damit die Fläche unter
dem Graphen von f zwischen 5 und a gleich gross ist, wie diejenige zwischen
1 und 2 ? |
| b) |
Berechnen Sie das Volumen des Körpers,
der entsteht, wenn man das Kurvenstück über dem Intervall [1,2]
um die x-Achse rotieren lässt. |
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[TSME Matur 1989] | |
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Aufgabe 11 |
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| a) |
Setzen Sie a=0.5 und führen Sie für f(x) eine Kurvendiskussion
durch: Definitionsbereich, Pole, Asymptote, Nullstellen, Extrema,
Wendepunkte und zeichnen Sie den Graphen mit 2 Häuschen Einheit.
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| b) |
Wie gross muss man a und b wählen, damit sich die Graphen von f und g
an der Stelle x=a rechtwinklig schneiden? |
| c) |
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebietes. welches von den Kurven
f und g aus Teilaufgabe b) im ersten Quadranten eingeschlossen wird.
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[Matur Frauenfeld 2002] | |
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Aufgabe 12 |
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| Führen Sie für f eine vollständige
Kurvendiskussion durch: (Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Pole,
Asymptoten, Extrema, Wendepunkte, Graph (Einheit 2 Häuschen)).
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| Zeichnen Sie die Wendetangenten ein und berechnen Sie ihre
Gleichung. |
| [Matur Frauenfeld 2002, Flü] | |
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LÖSUNG |