Extremalwertaufgaben

Die folgenden Aufgaben eignen sich besonders gut für eine Lösung mit Hilfe von Winkelfunktionen
und sollen auch so gelöst werden.

Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5

Eine recht schwierige Aufgabe: 6

TOP

Aufgabe 1

Einem Halbkreis wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Seite auf dem Durchmesser liegt.
Berechnen Sie das Verhältnis a:b für das Rechteck mit:
a) maximaler Fläche
b) maximalem Umfang

LÖSUNG

TOP

Aufgabe 2

Einem Halbkreis mit Radius r wird ein gleichschenkliges Trapez so einbeschrieben, dass die grössere Parallelseite mit dem Durchmesser zusammenfällt.
a)	Zeigen Sie, dass die übrigen drei Seiten gleich lang sind, wenn die Trapezfläche maximal ist.
b)	Wie lang sind die übrigen drei Seiten, wenn der Umfang des Trapezes maximal sein soll?
[TSME 1996]

LÖSUNG

TOP

Aufgabe 3

Im rechtwinkligen Dreieck ABC sei die Hypotenuse c=6cm.
a)	Zeigen Sie, dass für Inhalt der gelben Dreiecksfläche gilt: A=18sinxcos³x
b)	Für welchen Wert von x ist der Inhalt von A maximal?
[Literargymnasium Rämibühl, 1988]

LÖSUNG

TOP

Aufgabe 4

Aus drei Brettern - einem mit Breite 1 und zweien mit Breite 2 - soll ein trapezförmiger Kanal hergestellt werden.
a)	Wie muss in Anordnung A der Böschungswinkel a gewählt werden, damit die Querschnittsfläche möglichst gross wird?
b)	Als Alternative käme Anordnung B in Frage. Könnte man auf diese Art eine grössere Fläche erzielen?

[Bülach, Typus B, 1982]

LÖSUNG

TOP

Aufgabe 5

Einem Kreiszylinder werden auf beiden Seiten gleiche Kreiskegel mit gleichem Grundkreis angesetzt. Der Achsenschnitt des ganzen Körpers ist ein gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge 1. Der halbe Oeffnungswinkel der Kegel sei x.
a)	Berechnen Sie das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von x.
b)	Für welchen Winkel x wird dieses Volumen maximal?
	[Frauenfeld 2001]

LÖSUNG

TOP

Aufgabe 6

Einer Kugel mit Radius R wird ein Kegel einbeschrieben.
Für welchen Öffnungswinkel ist seine Oberfläche maximal?

LÖSUNG