Exponential- und Logarithmusfunktion: Vermischte Aufgaben

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Schnittpunkte, Tangenten, Winkel: Beispiele 1, 2, 3, 4

Maturaufgaben: Beispiele 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12






TOP Aufgabe 1 Bestimmen Sie Definitionsmenge und Nullstellen der Funktion f(x):
a)
b)
c)
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TOP Aufgabe 2
Welche Gleichung hat die Tangente in der einzigen Nullstelle der Kurve f?		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 3
A(u|v) ist ein beliebiger Punkt auf f. In A werden die Parallele p zur
y-Achse und die Tangente t gezeichnet. P und T sind die Schnittpunkte von p und t mit der x-Achse.
a) Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte P und T immer 1 beträgt.
b) Bestimmen Sie u so, dass die Tangente t durch den Ursprung geht.
c) Bestimmen Sie u so, dass das Dreieck ATP den Flächeninhalt A=e besitzt.
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TOP Aufgabe 4
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen der beiden Funktionen.		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 5
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und zeichnen Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem.
b) Zeigen Sie, dass die dritte gegebene Funktion eine Stammfunktion der zweiten ist.
c) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Graphen und von der Geraden g: x=10 begrenzt wird.
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TOP Aufgabe 6
a)
b) Für welchen Wert von k hat die Fläche, die vom Grafen von f, von der schrägen Asymptote und den Geraden g: x=1 und h: x=k (k ist positiv) begrenzt wird, den Inhalt A=16/3?
c) Zieht man im Punkte P(1|?) des Graphen von f die Tangente, bildet diese mit der y-Achse und der erwähnten Asymptote ein Dreieck. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck?
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TOP Aufgabe 7
In der Nullstelle der Funktion f wird die Tangente gelegt. Wie lautet ihre Gleichung? (Vorprüfung 1999, Kurzaufgabe)		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 8
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremal- und Wendepunkte mit Steigung - überall exakte Werte) und zeichnen Sie damit einen schönen Graphen (Einheit: 5 Häuschen).
b) Ein Rechteck hat seine Ecken auf der x-Achse und auf dem Graphen von f(x).
Zeigen Sie, dass zwei dieser Ecken in den Wendepunkten des Graphen von f(x) liegen, wenn das Rechteck maximale Fläche hat.
Vorprüfung 1999
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TOP Aufgabe 9
Alle Ergebnisse sind exakt anzugeben!
a) Untersuchen Sie die Funktion f(x)=ln(x2+0.25).
(Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen)
b) Geben Sie die Gleichung einer Wendetangente an.
c) Bestimmen Sie in der Funktion f(x)=ln(ax2+b) die Parameter a und b so, dass die Funktion bei x=1 und y=-ln5 die Achsen schneidet.
[Matur TSME 2001, Flü]
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TOP Aufgabe 10
Berechnen Sie die Koordinaten aller Extremal- und Wendepunkte der Funktion f(x) (exakt!)
[Matur TSME, 2000, Kurzaufgabe, Flü]
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TOP Aufgabe 11
Gegeben sind ein Quadrat ABCD mit A(0|0), B(5|0), C(5|5), D(0|5) und die beiden Funktionen f(x)=ex und g(x)=lnx.
Berechnen Sie die zwischen f(x) und g(x) liegende Fläche des Quadrates (exakt).
[Matur TSME, 2000, Kurzaufgabe, Flü]
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TOP Aufgabe 12
a) Untersuchen Sie die Funktion f(x)=x2lnx für x>0, f(x)=0 für x=0 .
Insbesondere werden verlangt: Verhalten der Funktion bei x=0 und x→∞ ; Nullstellen, Maxima, Minima, Wendepunkte; Graph
(Einheit 5cm)
b) Berechnen Sie das Flächenstück zwischen den Nullstellen.
[Matur Städtisches Gymnasium Bern, Typus B, 1963]
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