Lineare Ungleichungen mit zwei Variabeln
Lineare Optimierung

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Eine Ungleichung: Einführung   
Aufgaben 1, 2
       
Ungleichungssysteme: Einführung  
Aufgaben 3, 4, 5, 6
       
Lineare Optimierung: Einführung    
Aufgaben 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18





TOP Aufgabe 1 Zeichnen Sie die Graphen folgender Punktmengen:
a) x+y>4
b) 2x-y≤8
c) 3x+9y≤-27
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TOP Aufgabe 2 Zeichnen Sie die Graphen folgender Punktmengen:
a) y<0.5x-4
b) y≥2x-5
c) y≤-x+6
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TOP Aufgabe 3
Zeichnen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungssysteme:
a)x-2y≤4
x≥-3
x≤2		 b)x+y≤60
2x+y≥30
y≥-10
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TOP Aufgabe 4
Zeichnen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungssysteme:
a)3x+4y≤12
2x-y<-5
x-2y<2		 b)x+4y>2
3x-2y<-8
x-3y<9
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TOP Aufgabe 5
Zeichnen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungssysteme:
a)y≤-x+3
y≥-x-3
y≤x+5
y≥-2		 b)y≤x+4
y≥2x-4
y≤2
y≤-2x+2
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TOP Aufgabe 6
Welche Ungleichungssysteme beschreiben die folgenden Vierecke (Rand und Fläche)
a)A(1|4), B(6|-1), C(-2|-1), D(-2|4)
b)A(3|3), B(5|3), C(0|-2), D(0|0)
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TOP Aufgabe 7
Bestimmen Sie beim gegebenen Planungspolygon für jede Zielfunktion den jeweils grössten und kleinsten Wert.
 
7x+5y≥-3
2x-3y≤8
3x-y≤12
-3x+13y≤24		    
a)     Z=20x+17y
b)     Z=y-2x
c)     Z=6x-26y+30
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TOP Aufgabe 8
Bestimmen Sie beim gegebenen Planungspolygon für jede Zielfunktion den jeweils grössten und kleinsten Wert.
 
y≥-1
-2x+y≤2
2x+3y≥6
x+3y≥3		    
a)     Z=x+y+1
b)     Z=x-y-1
c)     Z=3x+5y
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TOP Aufgabe 9
Ein Spielwarenfabrik stellt Dreiräder (D), Roller (R) und Fahrräder (F) her. Der Reingewinn beträgt 10 Fr. für D, 15 Fr. für R und 40 Fr. für F (immer pro Stück). Bestimme den grössten Gewinn, wenn infolge der Nachfrage und der Produktionsbedingungen folgende Einschränkungen zu beachten sind:
a) In einem Monat werden insgesamt 800 Stück hergestellt.
b) Monatlich sind mindestens 200 D und 200 R zu produzieren.
c) Es dürfen monatlich höchstens 400 D und 500 R hergestellt werden, zusammen aber nicht weniger als 500.
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TOP Aufgabe 10 An einer Schiessbude kann man mit Bällen auf drei verschiedene Ziele werfen. Ein Wurf koster Fr. 1.50.Urs hat lange geübt; er weiss nun, dass er das erste Ziel mit 9 von 10 Bällen trifft, das zweite Ziel mit 7 von 10 und das dritte Ziel nur mit 4 von 10 Bällen. Pro Treffer erhält er beim 1. Ziel 2 Franken, beim 2. Ziel 3 Franken und beim 3. Ziel 4 Franken. Urs wirft 100 Bälle, mindestens 10 auf jedes Ziel.
Berechne den maximalen und den minimalen Gewinn, den Urs unter diesen Voraussetzungen gewinnen kann.		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 11 Die Bodenfläche eines Schulhauses beträgt 8000 m2 und soll mit zwei Sorten Belag ausgestattet werden. Die erste Sorte kostet Fr. 20.-/ m2, die zweite Sorte Fr. 30.-/ m2. Die Reinigungskosten pro Jahr sind bei der zweiten Sorte nur halb so gross, wie bei der ersten Sorte, bei der sie Fr. 3.-/m2 ausmachen.
Wie ist die Auswahl zu treffen, wenn Fr. 180'000.- bis 210'000.- für die Gesamtkosten eingeplant sind, und die Reinigungskosten möglichst klein gehalten werden sollen?		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 12
Eine Automobilfabrik produziert einen Kleinwagen K, einen Mittelklassewagen M und einen Transporter T. Für die tägliche Produktion müssen folgende Bedingungen beachtet werden:
a) Täglich werden 1000 Einheiten hergestellt.
b) Es müssen mindestens 80 K, 200 M und 40 T produziert werden.
c) Personenwagen können nicht mehr als 900 hergestellt werden..
d) Die Zahl der K muss mindestens so gross sein, wie die der T.
Gewinn für K: 800.-, für M: 1100.-, für T: 900.-
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TOP Aufgabe 13 Eine Herdfabrik fabriziert drei Typen: Induktionsherde I, Elektroherde E und Gasherde G. Der Gewinn beträgt 300.- / 200.- / 150.- pro Herd. Infolge der Nachfrage, Kapazität und betriebstechnischen Notwendigkeiten sind folgende Bedingungen einzuhalten:
a) Die Gesamtstückzahl beträgt 500 wöchentlich.
b) Die Produktion muss wöchentlich mindestens 60 I, 80 E und 80 G umfassen.
c) Es müssen mindestens doppelt so viele I wie E hergestellt werden.
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TOP Aufgabe 14 Eine Werft stellt Motorboote und Segelboote her. An einem Motorboot verdient sie 4000.-, an einem Segelboot 1000.-. Die Produktionszahlen sind aus technischen Gründen und wegen der Nachfrage durch gewisse Bedingungen eingeschränkt:
a) Die Anzahl der Boote darf in einem Jahr 50 nicht überschreiten.
b) Jährlich werden mindestens 20 Segelboote mehr gebraucht als Motorboote.
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TOP Aufgabe 15 Ein Montagewerk beschäftigt gelernte Arbeiter und Lehrlinge. Ein störungsfreier Ablauf erfordert, dass mindestens 120 Arbeitsplätze besetzt sind; andererseits sind maximal 150 Arbeitsplätze verfügbar. Mindestens ein Fünftel aller stellen sind durch Lehrlinge zu besetzen; die Anzahl der Lehrlinge soll aber mindestens um 20 kleiner sein, als die Anzahl gelernter Arbeiter.
a) Wie viele Arbeiter kann das Werk maximal beschäftigen?
b) Wie viele Lehrlinge kann das Werk maximal beschäftigen?
c) Ein Arbeiter verdient 4'500 Franken im Monat,
ein Lehrling 1'000 Franken.
Wie viele Arbeiter und Lehrlinge wird die Firma einstellen, wenn die Lohnsumme möglichst klein sein soll?		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 16 Auf einer Geflügelfarm werden Hühner, Enten und Gänse gehalten, und zwar insgesamt 1200 Tiere. Wegen der Verwertung von Abfällen sollten es mindestens 40 Enten und 40 Gänse, wegen der Nachfrage aber nicht mehr als 150 Enten und 100 Gänse sein. Wegen des zur Verfügung stehenden Platzes darf die Anzahl von Gänsen und Enten zusammen 200 nicht überschreiten. Wann ergibt sich der grösste Gewinn, wenn ein Huhn 2.-, eine Gans 8.- und eine Ente 6.- einbringt?   LÖSUNG


TOP Aufgabe 17 Eine Buchgemeinschaft versucht durch eine Werbeaktion ihren Umsatz zu steigern. Sie gibt als Werbegaben Lexika und Romane kostenlos ab.
Die Unkosten belaufen sich auf 10 Fr. für ein Lexikon und 4 Fr. für einen Roman. Zur Verfügung stehen insgesamt 100'000 Fr. und es sollen 15'000 Werbekunden angeschrieben werden. Man schätzt den Mehrumsatz für jedes verschenkte Lexikon auf 100 Fr. und für jeden Roman auf 50 Fr. Wie viele Lexika und wie viele Romane müssen verschickt werden, damit sich der grösste Werbeerfolg ergibt?		   LÖSUNG


TOP Aufgabe 18 Ein Unternehmen benötigt wöchentlich mindestens 2000 Liter Putzmittel A und 2250 l Putzmittel B. Bei einem Grosshändler erhält man Packungen, die 20 l A und 50 l B enthalten. Bei einem zweiten Grosshändler bestehen die Packungen aus 40 l A und 15 l B. In beiden Fällen kostet A 60 Rp/l und B 40 Rp/l. Wie viele Packungen müssen wöchentlich bei jedem Händler eingekauft werden, wenn sich möglichst geringe Kosten ergeben sollen?   LÖSUNG