Vermischte Aufgaben über arithmetische
und geometrische Zahlenfolgen |
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Arithmetisch oder geometrisch?
1,
2,
3,
4
Aufgaben, die auf mehr oder weniger komplizierte Gleichungssysteme führen:
5,
6,
7,
| Es ist bei einigen Aufgaben nützlich, wenn Sie die anschliessenden Folgerungen benützen: |
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Arithmetisch heisst, dass aufeinander folgende Glieder gleiche Differenzen haben:
an+1 - an = an - an-1 ⇒ 2an = an-1 + an+1
In Worten: jedes Glied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarsglieder. |
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Geometrisch heisst, dass aufeinander folgende Glieder gleiche Quotienten haben:
an+1 / an = an / an-1 ⇒ an2 = an-1 . an+1
In Worten: jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarsglieder. |
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Aufgabe 1 |
| 5 + 7.5 + . . . = |
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| a) |
Berechnen Sie die Summe der ersten zehn Glieder, wenn es sich um eine AF handelt. |
| b) |
Berechnen Sie die Summe der ersten zehn Glieder, wenn es sich um eine GF handelt. | |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 2 |
| a) |
6 + 12 + 18 + . . . + 98'304 = |
| b) |
6 - 12 + 24 - . . . + 98'304 = | |
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Aufgabe 3 |
| Bestimmen Sie je das erste Glied: |
| a) |
. . . + 619 + 719 + 819 = 3'228 |
| b) |
. . . + 486 + 1'458 + 4'374 = 6'560 | |
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Aufgabe 4 |
Von einer Folge kennen Sie a10=12 und a18=192.
Berechnen Sie a14 und a16 unter der Voraussetzung, dass die Zahlen |
| a) |
eine arithmetische |
| b) |
eine geometrische |
| (nur positive Lösungen angeben!) | |
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Aufgabe 5 |
Der kleine Max hat aus 78 Klötzen drei Türme gebaut, deren Höhen eine arithmetische Zahlenfolge bilden.
Nun nimmt er vom mittleren Turm acht Klötze weg und legt vier davon auf den kleinsten und die anderen vier auf den grössten.
Jetzt bilden die Turmhöhen eine geometrische Zahlenfolge.
Berechnen Sie die ursprünglichen Höhen der Türme! |
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Aufgabe 6 |
Die Summe der ersten vier Glieder einer AF ist 250.
Falls das dritte Glied weggelassen wird, entsteht eine GF.
Bestimmen Sie die AF (Wählen Sie a1 und d als Variable.) |
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Aufgabe 7 |
Drei Zahlen x, y, und z bilden eine GF mit der Summe 38.
Wenn man von der dritten Zahl 2 abzählt, erhält man eine AF. |
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