Formel von Bernoulli und Binomialverteilung

Formel von Bernoulli: 1

Binomialverteilung: 2, 3, 4

Vermischte: 5, 6

Maturaufgaben: 7, 8

Da die Lösungen sehr wenig Platz beanspruchen, sind jeweils mehrere Aufgaben zusammengefasst.

Aufgabe 1

1.	Eine Urne enthält 4 schwarze, 3 rote und 3 weisse Kugeln. Es wird 10-mal mit Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, genau 5 schwarze Kugeln zu ziehen?
2.	Ein fairer Würfel wird 36 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl 6 in der erwarteten Anzahl, also 6-mal, eintritt.
3.	Der Anteil der Nichtschwimmer an einer Schule beträgt 10%. In einer Klasse werden vier Schüler zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der Schüler Nichtschwimmer ist?
4.	In einem Keller sind alte Weine gelagert; man weiss, dass im Durchschnitt 20% davon nicht mehr geniessbar sind. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) von zehn Flaschen acht noch geniessbar sind, b) von 20 Flaschen 16 noch geniessbar sind.
5.	Der Computer eines Heiratsvermittlungsbüros kombiniert aus den Interessenten "Traumpaare". Längere Beobachtungen haben ergeben, dass 30% der "Produktion" unbrauchbar ist. Man lässt nun den Computer 10 Paare zusammenstellen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 gute Paare entstanden sind?

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Aufgabe 2

1.	Bei einer Qualitätskontrolle hat man mit einem Ausschuss von 5% zu rechnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) unter 10 Artikeln kein Ausschuss b) unter 20 Artikeln höchstens ein Artikel defekt ist.
2.	Eine Firma liefert Ventile in Packungen zu 20 Stück. Jede Packung darf nach den Lieferbedingungen höchstens 2 defekte Ventile enthalten. Ein Händler prüft eine Packung, indem er ihr 5 Ventile ohne zurücklegen entnimmt. Ist von diesen höchstens ein Ventil unbrauchbar, nimmt er die Packung an, andernfalls lehnt er sie ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens wird eine Packung abgelehnt, wenn sie den Lieferbedingungen entspricht?
3.	Die Ausschusswahrscheinlichkeit eines mit einer bestimmten Maschine hergestellten Massenartikels sei erfahrungsgemäss 1%. Die Gegenstände werden in Packungen zu je 200 Stück versandt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Packung höchstens ein Ausschussstück befindet?
4.	Durch Versuche sei festgestellt worden, daß 5% der Zwiebeln einer grossen Menge einer bestimmten Blumenzwiebelsorte nicht keimen. Diese Zwiebelsorte wird in Zehnerpackungen auf den Markt gebracht, und es wird eine Keimgarantie von 90% gegeben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Packung dieses Garantieversprechen nicht erfüllt ? Wie ändert sich die Lage , wenn eine Keimgarantie von nur 80 % gegeben wird ?
5.	Eine Firma produziert einen bestimmten Massenartikel, mit einem Ausschussanteil von p=4%. (Die folgenden beiden Aufgaben sind unabhängig voneinander.) Berechnen Sie unter der Annahme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 100 zufällig ausgewählten Artikeln mindestens 2 und höchstens 6 Ausschussartikel befinden.

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Aufgabe 3

1.	Englische Zeitungsnotiz: The Mitcham Public Health Department found an unexpected boom in boy births during May. There were 60 boys and 35 girls born during the month. Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt ist p=0.514. Ist diese Beobachtung eine echte Sensation?
2.	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Geburten in einem Spital mehr als 12 und weniger als 15 Mädchen darunter sind? (Annahme: p(k) = p(m)=50%)
3.	Die Wahrscheinlichkeit einer Zwillingsgeburt beträgt etwa 1/80. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 100 Geburten, die in einem Spital erwartet werden, mindestens drei Zwillingsgeburten stattfinden?
4.	Die Schülervertretung einer Schule besteht aus 12 Schülern. Jeder Schüler kommt mit der Wahrscheinlichkeit p=40% zu einer einberufenen Versammlung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwei Drittel der Schülervertreter anwesend?

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Aufgabe 4

Ein Glücksrad ist in drei gleich grosse Sektoren aufgeteilt. Jemand behauptet, aussersinnliche Wahrnehmung zu besitzen. Um diese Behauptung zu prüfen, wird das Glücksrad 10 mal gedreht. Die Versuchsperson errät
a) 6
b) 7 Ausfälle richtig.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, durch blosses Raten ein so gutes oder noch besseres Ergebnis zu erzielen?

Auf einem Wohltätigkeitsfest wird eine Tombola veranstaltet, bei der in der Lostrommel 100 Lose liegen, von denen 45 Nieten sind. Jemand kauft zu Beginn 4 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er mindestens 2 Gewinne?

Auf einem Glücksrad sind die Ziffern von 0 bis 9 aufgemalt; jede Ziffer ist gleichwahrscheinlich.

a)	Das Rad wird 15 mal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit genau dreimal eine 6 zu erhalten?
b)	Das Rad wird 20 mal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mindestens dreimal eine 6 zu erhalten?
c)	Das Rad wird 20 mal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 und höchstens 12 der Zahlen ungerade sind?

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Aufgabe 5

1.	Ein Taxistandplatz ist für 10 Taxen vorgesehen. Die Erfahrung zeigt, daß ein Wagen sich durchschnittlich 12 Minuten pro Stunde am Standplatz aufhält. Genügt es, den Standplatz für 3 wartende Wagen anzulegen, ohne daß dadurch in mehr als 15% aller Fälle ein Taxi keinen Platz findet? Welche Anzahl von Taxen wird man am häufigsten am Standplatz antreffen?
2.	In einem Postamt gibt es einen Schalter I für Brief- und Geldverkehr und einen Schalter II für Pakete. Für jeden eintretenden Kunden betrage die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zum Schalter I bzw. zum Schalter II geht, 0.8 bzw. 0.2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 5 Kunden a) genau 4 b) höchstens 4 zu Schalter I gehen?
3.	Der Bürgermeister eines Ortes von 2000 Einwohnern kennt jeden fünften Einwohner persönlich. Eines Tages trifft er auf seinen Heimweg 10 verschiedene Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind a) genau zwei Bekannte dabei? b) mindestens 2 Bekannte dabei?

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Aufgabe 6

Eine Urne enthält 4 schwarze und 6 weisse Kugeln. Es wird mehrfach eine Kugel gezogen und sofort wieder in die Urne zurückgelegt. Wie wahrscheinlich ist es,
a)	dass bei 10 Ziehungen genau 5 schwarze Kugeln gezogen werden,
b)	dass bei 10 Ziehungen genau 5 weisse Kugeln gezogen werden,
c)	dass bei 10 Ziehungen genau 4 schwarze Kugeln gezogen werden,
d)	dass bei 10 Ziehungen höchstens 3 schwarze Kugeln gezogen werden.
e)	dass bei 5 Ziehungen mindestens 3 schwarze Kugeln gezogen werden

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Aufgabe 7

[Matur TSME 93] In einem Dreieckstest werden Experten geprüft. Zwei Gläser werden mit Wein der gleichen Sorte 1 gefüllt, ein weiteres Glas mit Wein einer anderen Sorte 2. Der Kandidat soll das Glas mit der Sorte 2 identifizieren. Der Kandidat gilt als Experte, wenn er in mindestens 7 von 10 Fällen richtig tippt.
a)	Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Banause den Test glückhaft?
b)	Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt ein bewährter Kenner durch den Test, der in vielen Versuchen dieser Art gezeigt hat, dass er sich mit einer Trefferquote von 80% brüsten kann?

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Aufgabe 8

[Matur TSME 01] Die Musikgesellschaft "Harmonie" führt ihr Jubiläumskonzert durch. In den Pausen werden Tombola-Lose angeboten. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 13%.
a)	Fritz ist ein eifriger Loskäufer. 90 Lose hat er schon gekauft und erst 10 Gewinne erzielt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 90 Losen höchstens 10 mal gewinnt?
b)	Hans hat schon 100 Lose gekauft und dabei 16 Gewinne eingestrichen. Er behauptet, er habe eben eine besonders begabte Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt man ohne besondere Begabung auf mindestens 16 Treffer?
c)	Wie viele Treffer müsste Hans auf 100 Lose mindestens erzielen, damit die Zweifel an seiner Begabung unter 1% sinken?
d)	Die Besucher können auch Säckchen kaufen, die je 10 zufällig ausgewählte Lose enthalten. Der Veranstalter verspricht mindestens einen Gewinn, ansonsten er das Geld zurückerstattet. Wie gross ist das Risiko, dass der Veranstalter zahlen muss?

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