Verteilungen: vermischte Aufgaben

Aufgaben: 1, 2, 3, 4, 5 , 6

Aufgabe 1

Am Zoll: wir nehmen an, dass jede zehnte Person zu verzollende Waren nicht deklariert.
a)	Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass; in einer Gruppe von 10 Personen genau eine schmuggelt; in einer Gruppe von 20 Personen genau zwei schmuggeln.
b)	Der Zöllner überprüft zwanzig Mitglieder eines grossen Damenchors . Er entdeckt mehr als zwei "Schuldige" und behauptet nun, dass Frauen häufiger schmuggeln als der Durchschnitt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich irrt?
c)	In einer Gruppe von 15 Autofahrern haben 5 ihre Waren nicht deklariert. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zöllner beim Ueberprüfen der ersten sechs Automobilisten genau zwei Schmuggler und vier ehrliche Bürger erwischt?

Aufgabe 2

[Matur TSME 96] Eine Fabrik stellt mit zwei Maschinen A und B Kugeln für Kugellager her. Die Maschine B stellt 60% der Gesamtproduktion her. Bei der neueren Maschine A sind 3% der produzierten Kugeln mangelhaft, bei der Maschine B sind es 4%.
a)	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kugel mangelhaft ist?
b)	Eine zufällig herausgegriffene Kugel ist mangelhaft. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit der Maschine B produziert worden ist?
c)	Es werden 100 Stück der von der Maschine A produzierten Kugeln untersucht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 davon mangelhaft sind?
d)	Wieviele der von A produzierten Kugeln muss man herausgreifen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98% mindestens eine mangelhafte dabei ist?

Aufgabe 3

[Matur TSME 95] Ein Unternehmen beauftragt eine Werbeagentur, für eines seiner Produkte eine grosse Fernsehwerbung durchzuführen. Sollte nach Beendigung der Werbeaktion der Bekanntheitsgrad des Produkts mehr als 40% betragen, so ist das Unternehmen bereit, über den vereinbarten Preis für die Werbeaktion hinaus einen zusätzlichen Betrag an die Werbeagentur zu zahlen. Zur Entscheidung darüber soll eine Umfrage unter 100 zufällig ausgewählten Personen durchgeführt werden.
a)	Angenommen, der Bekanntheitsgrad sei 40%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 50 Personen das Produkt kennen?
b)	Wie muss die Entscheidungsregel lauten, damit das Risiko für das Unternehmen, zu Unrecht mehr zu zahlen, höchstens 1% beträgt?
c)	Angenommen, das Unternehmen zahlt die Prämie, wenn mindestens 55 Personen das Produkt kennen: wie gross ist dann das Risiko der Werbeagentur, den zusätzlich vereinbarten Betrag nicht zu erhalten, obwohl der Bekanntheitsgrad des Produkts nach der Werbeaktion bei 50% liegt?

Aufgabe 4

[Matur TSME 85] In einer Urne befinden sich 4 schwarze, 6 weisse und 2 rote Kugeln.
a)	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig herausgegriffene Kugeln die gleiche Farbe haben?
b)	Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass von drei gleichzeitig herausgenommenen Kugeln mindestens eine schwarz ist?
c)	Es werden acht Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei der gezogenen Kugeln schwarz sind?
d)	Zwei Spieler A und B entfernen die weissen Kugeln und machen mit den restlichen das folgende Spiel: A zieht ohne Zurücklegen so lang eine Kugel nach der anderen, bis er zum ersten Mal eine Rote zieht. Für die rote Kugel zahlt A dem Spieler B 1 Franken, für jede schwarze Kugel erhält A von B 1 Franken. Welches ist die Gewinnerwartung von A?

Aufgabe 5

[Matur TSME 00] Castor und Pollux schiessen auf ein Ziel. Die Treffwahrscheinlichkeit ist 0.25 für Castor, 0.3 für Pollux.
a)	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Castor mit 16 Schüssen genau vier Treffer erzielt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pollux mit 10 Schüssen mehr als drei mal trifft? Wie oft muss Pollux schiessen, um das Ziel mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen?
b)	In einer Serie schiesst jeder der beiden zweimal. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, 2, 3, 4 Treffer und den Erwartungswert pro Serie. Wieviele Treffer sind bei 20 Serien zu je zwei mal zwei Schüssen zu erwarten?

Aufgabe 6

In einem Laborversuch zeigt sich ein bestimmter, unerwünschter Nebeneffekt mit der Wahrscheinlichkeit von 12.5%. Der Laborversuch wird zehnmal durchgeführt.
a)	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Effekt mindesten dreimal eintritt?
b)	Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Effekt niemals eintritt?
c)	Wie oft müsste man den Versuch wiederholen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass der Effekt mindesten einmal eintritt, grösser als 95% wird?
[Matur TSME 02, Aufgabe 10, Rei]