Ebenen |
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Voraussetzung: das Vektorprodukt ist bekannt.
Die Aufgaben werden grundsätzlich mit der Normalenform (Koordinatenform) der Ebenengleichung gelöst.
Aufstellen von Ebenengleichungen:
1,
2,
3,
4,
5
Schnitt von Ebenen:
6,
7,
8,
9
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Aufgabe 1 |
| Der Normalenvektor ist bekannt: bestimmen Sie die
Ebenengleichung. |
| a) |
Die Ebene ist gegeben durch Normalenvektor und Punkt
(2|0|5) |
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| b) |
Die Ebene geht durch A(5|3|1) und steht senkrecht auf der Geraden g. |
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| c) |
Die Ebene ist parallel zur Ebene 5x-3y+z=7 und geht
durch P(6|7|-5). |
| d) |
Gesucht ist die Normalebene durch den Mittelpunkt der Strecke AB
mit A(3|-5|8) und B(7|5|2) |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 2 |
| Der Normalenvektor muss zuerst ausgerechnet werden; bestimmen Sie die Ebenengleichung. |
| a) |
Die Ebene geht durch A(5|1|1) und ist durch zwei Richtungsvektoren bestimmt. |
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| b) |
Die Ebene geht durch die Punkte A(4|-2|-2), B(7|2|4) und
C(0|-5|-3). |
| c) |
Die Ebene geht durch die Punkte A(4|1|7), B(3|-1|2) und
C(2|0|0). |
| d) |
Die Ebene geht durch die Punkte A(2|5|4), B(7|0|-3) und
C(-8|-5|2). | |
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Aufgabe 3 |
| Spezielle Ebenen; Achsenabschnittsform. Gesucht ist
jeweils die Ebenengleichung. |
| a) |
Ebene senkrecht zur x-Achse durch P(5|6|7). |
| b) |
Parallel zur xz-Ebene durch P(2|-3|5). |
| c) |
Ebene, die die Achsen in den Punkten P(3|0|0), Q(0|-2|0) und
R(0|0|12) schneidet. |
| d) |
Ebene parallel zur z-Achse mit den Achsenschnittpunkten
P(2|0|0) und Q(0|4|0). |
| e) |
Ebene senkrecht zur yz-Ebene mit den Achsenschnittpunkten
Q(0|-3|0) und R(0|0|9). | |
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Aufgabe 4 |
| Weitere einfache Aufgaben zur Ebenengleichung:
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| a) |
Die Ebene ist gegeben durch zwei sich schneidende Geraden.
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| b) |
Die Ebene ist gegeben durch eine Gerade und den Punkt P(4|-1|1).
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| c) |
Die Ebene ist durch zwei parallele Geraden gegeben. |
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Aufgabe 5 |
| Aufgaben zur Ebenengleichung für die etwas
räumliches Vorstellungsvermögen erforderlich ist.
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| a) |
Die Ebene geht durch A(6|0|1) und B(-1|-2|2) und ist parallel zur
z-Achse. |
| b) |
Die Ebene geht durch A(1|2|3) und B(0|7|0) und steht senkrecht
auf der Ebene y=7. |
| c) |
Die Ebene steht senkrecht zur Ebene 3x-2y+z=10 und enthält
die Gerade g. |
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Aufgabe 6 |
In welchem Punkt schneiden sich die Ebenen:
E: 3x-2y+z=8, F: x+y-3z=-4, G: 4x+3y-5z=8 |
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Aufgabe 7 |
| Bestimmen Sie eine Parametergleichung der
Schnittgeraden der Ebenen E und F: |
| a) |
E: x-y+z=6, F: x+y-4z=-2 |
| b) |
E: x+2y-z=-4, F: x-4y+z=2 | |
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Aufgabe 8 |
Die Ebenen E: 4x+3y+2z=-1, F: x+2y+3z=-4 und G: x+by+cz=-7
besitzen eine gemeinsame Schnittgerade. Bestimmen Sie die
Schnittgerade und die Parameter b und c. |
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Aufgabe 9 |
Bestimmen Sie den spitzen Schnittwinkel der beiden Ebenen
E: 5x-y-6z=-1 und F: 4x+z=2. |
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