Vermischte Aufgaben
über Geraden und
Ebenen |
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Maturaufgaben: 1,
2,
3,
4,
5,
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8,
9,
10,
11
12,
13
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Aufgabe 1 |
| Der Würfel ABCDEFGH ist gegeben durch: |
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| Ebene ABCD |
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| Ebene ABEF |
2x-y-2z+4=0 |
| Ebene ADEH |
2x+2y+z-11=0 |
| und den Punkt |
G(1|10|7) |
| Berechnen Sie die Koordinaten der Ecken A und B sowie das Volumen des Würfels. |
| [Vorprüfung 1999] | |
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Aufgabe 2 |
| Ein Tetraeder hat die Spitze S(6|7|-1). Seine Grundfläche
wird durch die Punkte A(5|7|-3), B(6|6|-2) und C(10|3|-6) gebildet.
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| a) |
Berechnen Sie Volumen V und Grundfläche G dieser Pyramide
(exakt!) |
| b) |
Die Länge der durch S gehenden Höhe h der Pyramide lässt
sich auf mindestens drei Arten berechnen.Beschreiben Sie kurz die drei
Verfahren und führen Sie eines davon durch (exakt!). |
| c) |
Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen ABC und ABS ? |
| d) |
Berechnen Sie den Abstand des Spitze S von der Kante AB exakt. |
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[Matur TSME 2001, Flü] | |
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Aufgabe 3 |
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| Gegeben sind die Ecken A(-1|1|-3) und D(2|2|1) eines
Parallelogramms; die Ecke B liegt auf der gegebenenGeraden. |
| a) |
Berechnen Sie die Koordinaten der Ecke B für den Fall t=2.
Wo liegt dann die Ecke C? |
| b) |
Für welches t ist die Fläche des Parallelogramms gleich der
gegebenen Fläche A? |
| c) |
Für welches t ist die Fläche des Parallelogramms möglichst
klein? |
| d) |
Zeigen Sie, dass es kein t gibt, so dass das Parallelogramm zu einem
Rechteck wird? (Begründen!) |
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[Matur TSME, 2000, Flü] | |
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Aufgabe 4 |
Gegeben sind die Punkte
A(5|0|10), B(-4|21|4), C(2|21|10), S(-13|12|22).
Von S aus wird das Lot auf die Ebene ABC gefällt.
Berechnen Sie seinen Fusspunkt. |
| [Matur TSME 2000 Kurzaufgabe, Flü] | |
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Aufgabe 5 |
Von einem Würfel kennt man:
die Ebene ABCD: Φ: 2x-y-2z-5=0
die Ebene ADEH: Ψ: 2x+2y+z+4=0
sowie den Punkt F(1|0|3). |
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| a) |
Berechnen Sie die Parametergleichung der Schnittgeraden von Φ und Ψ. |
| b) |
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene ABFE |
| c) |
Wie lautet die Gleichung der Ebene CDHG? |
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[TSME, Matur BDE, 1997 - Flü] | |
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Aufgabe 6 |
| Gegeben ist ein Dreieck im Raum durch die Punkte A(3|1|1), B(1|4|2) und C(-1|0|4) |
| a) |
Wie gross ist die Fläche des Dreiecks? |
| b) |
Wie gross ist der Dreieckswinkel bei B ? |
| c) |
Welchen Winkel bilden die Dreiecksebene und die xy-Ebene? |
| d) |
Welche Länge hat die Höhe durch C ? |
| e) |
Geben Sie einen Richtungsvektor der Höhengeraden durch C an! |
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[TSME, Matur BDE, 1993 - Gub] | |
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Aufgabe 7 |
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| a) |
Bestimmen Sie einen Punkt C auf der Geraden g so, dass das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat.
(Bei mehreren Möglichkeiten wähle man den Punkt C, der die grösste z-Koordinate hat). |
| b) |
Spiegeln Sie den Nullpunkt O an der Ebene ε(ABC); der gespiegelte Punkt heisse O'. |
| c) |
Berechnen Sie das Volumen des Körpers OABCO'. |
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[Frauenfeld, 7gb, 1990] | |
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Aufgabe 8 |
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| a) |
Geben Sie die Koordinatengleichung der Ebene E1 an, welche durch A(2|1|0) und B(9|5|4)
geht und senkrecht zur Ebene
E: 2x-2y+z-11=0 steht. |
| b) |
Bestimmen Sie den Spiegelpunkt A' von A bezüglich E. |
| c) |
Für welche Punkte P auf der x-Achse ist ∠ APB=90°? |
| d) |
Welche Punkte auf g haben von E und der yz-Ebene gleiche Abstände? |
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[Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Typus B, 1989] | |
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Aufgabe 9 |
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Gegeben sind: die Gerade g sowie die Ebene Φ durch A(1|-5|0), B(0|3|3) und C(2|2|3).
Bestimmen Sie: |
| a) |
Den Durchstosspunkt S von g durch Φ. |
| b) |
Den Schnittwinkel φ zwischen g und Φ. |
| c) |
Die Gerade g wird an der Ebene Φ gespiegelt.
Berechnen Sie die Gleichung der Spiegelgeraden g'. |
| d) |
Welche Punkte der Geraden g haben von Φ den Abstand √30 ? |
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[Matur TSME, 1997, Flü] | |
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Aufgabe 10 |
| Die Gerade g: |
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und der Punkt C(-1|0|3) sind gegeben. |
| a) |
Bestimmen Sie auf g zwei Punkte D und E sowie einen weiteren Punkt F (nicht auf g), dass CDEF ein Quadrat wird.
[Es genügt, eines der möglichen Quadrate finden.] |
| b) |
CDEF aus a) ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S. Das Volumen der Pyramide beträgt 72.
Wie lauten die Koordinaten der Spitze S. |
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[Matur TSME 02, Aufgabe 3, Rei] | |
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Aufgabe 11 |
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| a) |
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden a und b. |
| b) |
In welchen Punkten Sa bzw. Sb schneiden die beiden Geraden die xy-Ebene? |
| Die Szenerie wird mit parallelem Licht beschienen. Dabei werfen die Geraden a und b Schatten a' und b' auf die xy-Ebene. |
| c) |
Die Schatten a' und b' schneiden sich im Punkt T(9|3|0).
Aus welcher Richtung kommt das parallele Licht? |
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[Matur TSME 02, Aufgabe 1, Rei] | |
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Aufgabe 12 |
| Gegeben sind die beiden Geraden |
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| a) |
Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε, welche g enthält und zu g' parallel ist! |
| b) |
Bestimmen Sie den Fusspunkt F des Lotes von A'(-1|-22|-45) auf die Ebenen ε ! (A' liegt auf g'!) |
| c) |
Für welchen Punkt B von g hat das Dreieck A'FB die kleinste Fläche? |
| d) | G liege auf g, G' liege auf g'.
Gesucht sind die Koordinaten von G und G', wenn die Punkte A'FGG' ein Rechteck bilden. |
| e) | Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche A'FGG' und der Spitze B ! |
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[TSME Matur BDE, 1988] | |
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Aufgabe 13 |
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a) |
Sei C der Punkt auf der Geraden für t=0. Berechnen Sie vom Dreieck ABC den Winkel bei A und den Flächeninhalt. |
| b) |
Für welchen Punkt D auf der Geraden g ist das Dreieck ABD bei A rechtwinklig? |
| c) |
Ein Lichtstrahl geht von A aus, wird an der Grundrissebene z=0 reflektiert und trifft danach den Punkt B. Wo liegt der Reflexionspunkt? |
| d) |
Bestimmen Sie die Transversale der beiden Geraden AB und g durch den Ursprung. |
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[Rychenberg Winterthur, Typus A, 1989] | |
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